PRODUCTO MIXTO

El producto mixto de los vectores

es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.

El producto mixto se representa por [

El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

Ejemplos:

Calcular el producto mixto de los vectores:

Volumen del paralelepípedo

El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.

Ejemplo

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:

Interpretación geométrica del Producto Mixto

La similitud que existe entre las fórmulas de determinantes para calcular el producto cruz y el producto mixto tienen su paralelo en el siguiente teorema:

Si $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ son vectores tridimensionales, entonces $|\vec{u}\cdot (\vec{v}\times\vec{w})|$ es igual al volumen del paralelepípedo definido por $\vec{u},\vec{v},\vec{w}.$

Paralelepípedo determinado por tres vectores

Así, la norma de un producto cruz representa el valor de un área, mientras que la norma de un producto mixto representa un volumen.
La demostración procede observando que

$|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})| = |\vec{u}| | \vec{v}\times\vec{w}| |\cos\theta|$

donde

\theta

es el ángulo entre los dos vectores

\vec{u}

\vec{v}\times\vec{w}

Diagrama para demostrar la interpretación geométrica.

Por otro lado

|\vec{v}\times\vec{w}| = |\vec{v}||\vec{w}||\sin\alpha|

corresponde al área del paralelogramo que forman los vectores

\vec{v},\vec{w}

\alpha

es el ángulo entre ellos.
Así, reordenando los factores el producto tenemos:

$|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) | = (|\vec{u}||\cos\theta|)|\vec{v}\times\vec{w}|=h\cdot A = V.$

donde

h

es la altura del paralelogramo, como indica la figura,

A

es el área del paralelogramo de la base y

V

es el volumen del paralelepípedo.
La interpretación geométrica anterior proporciona un tercer criterio geométrico de estilo similar a los señalados para los otros productos.

Tres vectores $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ son coplanares si y sólo si

$\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0$ .

Lo anterior se sigue de que el volumen del paralelepípedo tendrá volumen cero si y sólo si los vectores que los definen están en un mismo plano.

Producto Escalar o Punto

El producto punto es una operación entre dos vectores

\vec{u},\vec{v}

que da como resultado un número (un escalar), por lo que también se le conoce como producto escalar, y está definido como

$\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_n v_n$ .

Entre sus principales propiedades se encuentra el resultado

$\vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos \theta$

donde

\theta

es el ángulo que forman los dos vectores. Usando ese resultado es posible establecer el siguiente criterio para determinar si dos vectores son perpendiculares (ortogonales):

Dos vectores $\vec{u},\vec{v}$ son perpendiculares si y sólo si $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ .

Cuando los vectores son tridimensionales (esto es, son vectores de

\mathbb{R}^3

) es posible definir otra multiplicación de vectores cuyo resultado sea también un vector; dicha operación se denomina producto cruz o producto vectorial, definido mediante el determinante